Kurnia Jossi Blog: 2017

TUGAS

MATEMATIKA DAN ILMU ALAMIAH DASAR

KELOMPOK

CRISMARIA PURBA

I GUSTI AGUNG AYU DIAN W

KURNIA JOSSI BUDIASTUTI

RANI SAAD FADILLAH

YOKHEBED ADHITA YOHANA BANGUN

1PA15

FAKULTAS PSIKOLOGI

UNIVERSITAS GUNADARMA

2017

SOAL

A. Himpunan dan bilangan

Jelaskan pengertian himpunan dan anggota himpunan
Sebutkan macam2 himpunan berdasarkan jumlah anggotanya
Jelaskan operasi antar himpunan beserta contohnya
Jelaskan mengenai himpunan bilangan dan sebutkan sifat2 bilangan
Jelaskan perbedaan bilangan bulat dengan bilangan riil

B. Relasi

Jelaskan definisi dari relasi
Menyajikan relasi dengan matriks relasi dan diagram panah
Jelaskan relasi invers, dan komposisi relasi
Jelaskan perbedaan sifat relasi

a. Refleksif

b. Transitif

c. Simetris

d. Anti simetris

C. Fungsi

1. Jelaskan definisi fungsi

2. Jelaskan fungsi satu-satu (one to one) dengan fungsi pada (on to)

3. Jelaskan perbedaan domain, kodomain, dan range satu fungsi

JAWABAN

A. Himpunan dan bilangan

1. Jelaskan pengertian himpunan dan anggota himpunan

Himpunan adalah sekelompok / kumpulan benda atau objek yang anggotanya dapat didefinisikan / ditentukan dengan jelas.
Sehingga dapat ditarik kesimpulan bahwa objek pada himpunan harus didefinisikan dengan jelas, agar supaya dapat dibadakan atau ditentukan antara benda / objek yang termuat dan yang tidak termuat pada himpunan.

2. Sebutkan macam2 himpunan berdasarkan jumlah anggotanya

a. Himpunan bilangan asli

A = { 1, 2, 3, 4, 5, ... }

b. Himpunan bilangan cacah

C = { 0, 1, 2, 3, 4, .... }

c. Himpunan bilangan prima

P = { 2, 3, 5, 7, 11, .... }

d. Himpunan bilangan genap

G = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, .... }

e. Himpunan bilangan ganjil

G = { 1, 3, 5, 7, 9, .... }

f. Himpunan bilangan komposit (tersusun)

T = { 4, 6, 8, 9, 10, 12, .... }

g. Himpunan tak hingga

A = { 1, 3, 5, 7, ..... }, (n)A = ∞ (jumlah anggota himpunan A adalah tak terhingga)

h. Himpunan berhingga

B = { 1, 3, 5, 7 }, (n)A = 4 (jumlah anggota himpunan B adalah sebanyak 4)
i. Himpunan kosong
K = { himpunan bilangan prima antara 7 dan 9 }, K = { } (jumlah anggota

himpunan K adalah tidak ada atau kosong)

j. Himpunan bagian

A = {2, 3, 5 } dan B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Semua anggota himpunan A adalah merupakan anggota himpunan B. Sehingga dapat dikatakan bahwa; A bagian dari B, ditulis A c B atau B memuat A ditulis B ﬤ A

k. Himpunan semesta

Bila A = { 2, 4, 6, 8, 10 }, maka beberpa himpunan semesta pembicaraan yang tuk A adalah;
S = { bilangan asli }
S = { bilangan cacah }
S = { bilangan kelipatan 2 }

Jelaskan operasi antar himpunan beserta contohnya

Dalam matematika, himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai struktur kemungkinan himpunan dan teori himpunan, sangatlah berguna.

Teori himpunan, yang baru diciptakan pada akhir abad ke-19, sekarang merupakan bagian yang tersebar dalam pendidikan matematika yang mulai diperkenalkan bahkan sejak tingkat sekolah dasar. Teori ini merupakan bahasa untuk menjelaskan matematika modern. Teori himpunan dapat dianggap sebagai dasar yang membangun hampir semua aspek dari matematika dan merupakan sumber dari mana semua matematika diturunkan.

a. Anggota Himpunan

(a) Untuk menyatakan suatu benda (objek) yang merupakan anggota himpunan dilambangkan " ∈" dan jika bukan anggota dilambangkan " ".

(b) Himpunan terhingga dan tak terhingga Himpunan terhingga adalah himpunan yang anggotanya tertentu. Himpunan tak terhingga adalah himpunan yang anggotanya tak terbatas jumlahnya.

b. Himpunan Kosong

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota Notasi himpunan kosong adalah { } atau {0} bukan himpunan kosong karena mempunyai anggota yaitu “nol”.

c. Himpunan bagian

A himpunan bagian dari B jika setiap anggota A merupakan anggota himpunan B dan ditulis "A( B". Jika banyaknya anggota suatu himpunan A adalah n(A), maka banyaknya himpunan bagian dari A adalah 2n(A)

d. Himpunan semesta

adalah himpunan yang memuat semua obyek yang dibicarakan. notasi "S".

Operasi Pada Himpunan

Jika S adalah himpunan semesta dan himpunan A Ì S , komplemen dari A , ditulis A’ , adalah himpunan dari semua anggota S yang bukan merupakan anggota A .

A’ = { x | x ÏA }

Gabungan (union) himpunan A dan himpunan B, ditulis sebagai A È B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota A atau anggota B atau anggota keduanya.

A È B = { x | x ÎA atau x ÎB }

Irisan (interseksi) himpunan A dan himpunan B, ditulis sebagai A Ç B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota bersama dari himpunan A dan B.

A Ç B = { x | x ÎA dan x ÎB }

Selisih (difference) dari himpunan A dengan himpunan B, ditulis sebagai A - B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan A yang bukan merupakan anggota himpunan B.

A - B = { x | x ÎA dan x ÏB }.

Jelas bahwa

B - A = { x | x ÎB dan x ÏA }.

Selisih simetri (symetric difference) dari himpunan A dengan himpunan B, ditulis sebagai A D B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota gabungan himpunan A dan B, tetapi bukan merupakan anggota irisan himpunan A dan B.

A D B = ( A È B ) – ( A Ç B )

atau

A D B = ( A – B ) È ( B - A ).

Jelaskan mengenai himpunan bilangan dan sebutkan sifat2 bilangan

Jika pada topik sebelumnya kamu telah belajar tentang operasi yang berlaku pada himpunan, maka pada topik kali ini kamu akan belajar tentang sifat-sifat operasi himpunan.

a. Ketertutupan

Sifat ketertutupan pada operasi himpunan mempunyai makna bahwa hasil dari pengoperasian dua atau lebih himpunan menghasilkan satu penyelesaian berupa himpunan.

b. Sifat Komutatif

Sifat komutatif pada operasi himpunan hanya berlaku pada operasi irisan dan gabungan, yaitu A ∩ B = B ∩ A dan A ∪ B = B ∪ A.

Contoh:

Diketahui dua himpunan A = {3, 4, 5, 6} dan B = {2, 3, 4}.

Tunjukkan bahwa A ∩ B = B ∩ A dan A ∪ B = B ∪ A.

Penyelesaian:

A ∩ B = B ∩ A

Perhatikan anggota-anggota pada himpunan A dan B. Anggota A ∩ B merupakan persekutuan dari anggota pada himpunan A dan himpunan B. Anggota himpunan A yang terdapat di himpunan B adalah 3, 4. Dengan demikian, A ∩ B = {3,4}. Selanjutnya, kita tentukan B ∩ A. Anggota di himpunan B yang terdapat di himpunan A adalah 3, 4. Dengan demikian, B ∩ A = {3, 4}. Dari hasil tersebut dapat disimpulkan bahwa A ∩ B = B ∩ A.

A ∪ B = B ∪ A

Untuk menentukan A ∪ B, kamu dapat menuliskan kembali semua anggota A dan B, yaitu 3, 4, 5, 6, 2, 3, 4. Oleh karena ada dua nilai yang sama untuk 3 dan 4, maka dapat ditulis satu kali saja, sehingga A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 6}. Begitu pula untuk menentukan B ∪ A. Dengan menuliskan kembali semua anggota B dan A dengan anggota yang sama ditulis satu kali, yaitu 2, 3, 4, 5, 6, sehingga diperoleh B ∪ A = {2, 3, 4, 5, 6}. Dari hasil tersebut dapat disimpulkan bahwa A ∪ B = B ∪ A.

c. Sifat Asosiatif

Sifat asosiatif pada operasi himpunan hanya berlaku pada operasi irisan dan gabungan, yaitu(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) dan (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).

Contoh:

Diketahui A = {p, q, r, s}, B = {r, s, t} dan C = {q, r, s}.

Tunjukkan bahwa (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) dan (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).

Penyelesaian:

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Anggota himpunan A yang juga terdapat di himpunan B adalah r, s, sehingga diperoleh A ∩ B = {r, s}. Adakah anggota himpuanan C yang sama dengan anggota di A ∩ B? Ternyata ada yaitu r, s. Dengan demikian, (A ∩ B) ∩ C = {r, s}. Selanjutnya, perhatikan anggota himpunan B yang terdapat di himpunan C yaitu r, s, sehingga B ∩ C = {r, s}. Amati anggota himpunan A yang terdapat di himpunan B ∩ C yaitu r, s, sehingga (A ∩ B) ∩ C = {r, s}. Dengan demikian dapat ditunjukkan bahwa (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

Kita tentukan dahulu (A ∪ B) ∪ C.

(A ∪ B) ∪ C = ({p, q, r, s} ∪ {r, s, t}) ∪ {q, r, s}

(A ∪ B) ∪ C = {p, q, r, s, t} ∪ {q, r, s}

(A ∪ B) ∪ C = {p, q, r, s, t}

Kemudian, kita tentukan A ∪ (B ∪ C).

A ∪ (B ∪ C) = {p, q, r, s} ∪ ({r, s, t} ∪ {q, r, s})

A ∪ (B ∪ C) = {p, q, r, s} ∪ {q, r, s, t}

A ∪ (B ∪ C) = {p, q, r, s, t}

Dengan demikian, dapat ditunjukkan bahwa (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).

d. Sifat Distributif

Sifat distributif pada operasi himpunan hanya berlaku pada operasi irisan dan gabungan, yaitu A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) dan A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

Contoh:

Diketahui himpunan A = {1, 2, 3, 4, ..., 10}, B = {2, 4, 6, 8, 10} dan C = {1, 3, 5, 7, 9}. Tunjukkan bahwa A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B).

Penyelesaian:

Langkah pertama, tentukan hasil dari A ∩ (B ∪ C).

A ∩ (B ∪ C) = {1, 2, 3, 4, ..., 10} ∩ ({2, 4, 6, 8, 10} ∪ {1, 3, 5, 7, 9})

A ∩ (B ∪ C) = {1, 2, 3, 4, ..., 10} ∩ {1, 2, 3, 4, ..., 10}

A ∩ (B ∪ C) = {1, 2, 3, 4, ..., 10}

Langkah kedua tentukan hasil dari (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

(A ∩ B) = {1, 2, 3, 4, ..., 10} ∩ {2, 4, 6, 8, 10}

(A ∩ B) = {2, 4, 6, 8, 10}

(A ∩ C) = {1, 2, 3, 4, ..., 10} ∩ {1, 3, 5, 7, 9}

(A ∩ C) = {1, 3, 5, 7, 9}

(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = {2, 4, 6, 8, 10} ∪ {1, 3, 5, 7, 9}

(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = {1, 2, 3, 4, ..., 10}

Dengan membandingkan hasil akhir langkah pertama dan kedua, dapat ditunjukkan bahwa A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B).

e. Sifat Identitas

Sifat identitas yang berlaku pada operasi irisan dan gabungan antara lain:

1. A ∩ ∅ = ∅
2. A ∩ S = A
3. A ∪ ∅ = A
4. A ∪ S = S

Contoh:

Diketahui S = himpunan bilangan asli kurang dari 10 dan J = {2, 3, 5, 7}. Tentukan:

a. J ∩ ∅

b. J ∩ S

c. J ∪ ∅

d. J ∪ S

Penyelesaian:

S = himpunan bilangan asli kurang dari 10 maka S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

a. J ∩ ∅ = {2, 3, 5, 7} ∩ { } ( Ingat irisan dua himpunan didapat dengan mencari anggota yang sama)

J ∩ ∅ = ∅

b. J ∩ S = {2, 3, 5, 7} ∩ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

J ∩ S = {2, 3, 5, 7}

J ∩ S = J

c. J ∪ ∅ = {2, 3, 5, 7} ∪ { } (Ingat gabungan dua himpunan didapat dengan menggabungkan semua anggota kedua himpunan tersebut)

J ∪ ∅ = {2, 3, 5, 7}

J ∪ ∅ = J

d. J ∪ S = {2, 3, 5, 7} ∪ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

J ∪ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

J ∪ S = S

f. Idempoten

Sifat idempoten yang berlaku pada operasi irisan dan gabungan antara lain:

1. A ∩ A
2. A ∪ A

Contoh:

Diketahui K = {4, 5, 6}. Tentukan:

a. K ∩ K

b. K ∪ K

Penyelesaian:

a. K ∩ K = {4, 5, 6} ∩ {4, 5, 6} = {4, 5, 6}

K ∩ K = K

b. K ∪ K = {4, 5, 6} ∪ {4, 5, 6} = {4, 5, 6}

K ∪ K = K

g. Sifat Komplemen

Sifat komplemen pada operasi himpunan hanya berlaku untuk irisan dan gabungan.

1. A ∩ Ac = ∅
2. A ∪ Ac = S
3. (Ac )c = A
4. ∅c = S
5. Sc = ∅

Contoh:

Diketahui S = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} dan L = {6, 8, 9, 10, 11}. Tentukan L ∩ Lc .

Penyelesaian:

Lc adalah semua anggota himpunan S yang bukan anggota himpunan bagian dari himpunan L, sehingga Lc = {2, 3, 4, 7}. Dengan demikian, diperoleh:

L ∩ Lc = {6, 8, 9, 10, 11} ∩ {2, 3, 4, 7}

L ∩ Lc = { }

L ∩ Lc = ∅

Jadi, L ∩ Lc = ∅.

h. Sifat Pengurangan

Operasi pengurangan pada himpunan tidak bersifat komutatif. Oleh karena operasi pengurangan tidak bersifat komutatif, maka tidak bersifat asosiatif maupun identitas yaitu:

1. A - B ≠ B - A

2. A - (B - C ) ≠ (A - B) - C

3. A - ∅ ≠ ∅ - A

Contoh:

Diketahui M = {a, b, c, d, e, f} dan N = {1, a, 2, b, 3, c}. Buktikan bahwa M - N ≠ N - M.

Penyelesaian:

M - N adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota dari himpunan M dan bukan anggota himpunan N.

M - N = {a, b, c, d, e, f} - {1, a, 2, b, 3, c}

M - N = {d, e, f}

N – M adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota dari himpunan N dan bukan anggota himpunan M.

N – M = {1, a, 2, b, 3, c} - {a, b, c, d, e, f}

N – M = {1, 2, 3}

Dengan demikian, terbukti bahwa M - N ≠ N – M.

i. Subset

Subset atau himpunan bagian adalah suatu himpunan yang merupakan bagian dari himpunan utama. Subset dinyatakan dengan lambang “⊂” tetapi jika bukan himpunan bagian dilambangkan dengan “⊄”. Banyaknya anggota himpunan bagian dari K dirumuskan: 2n(K)dengan n(K) merupakan banyaknya anggota himpunan K.

Contoh:

Jika diketahui O = {1, 4, 7}, maka tentukan banyaknya himpunan bagian O.

Penyelesaian:

Diketahui O = {1, 4, 7}, maka n(O) = 3

Banyaknya himpunan bagian O = 2n(O)
Banyaknya himpunan bagian O = 23
Banyaknya himpunan bagian O = 8

Jadi, banyaknya anggota himpunan bagian dari O ada 8 yaitu { }, {1}, {4}, {7}, {1, 4}, {1, 7}, {4, 7}, {1, 4, 7}.

j. Absorption

Absorption adalah himpunan-himpunan yang bila dioperasikan akan terserap menjadi suatu himpunan tertentu. Absorption dirumuskan sebagai berikut:

A ∪ (A ∩ B) = A ∩ (A ∪ B) = A

Contoh:

Diketahui A = {1, 2, 3} dan B = {0, 3, 4, 5}. Buktikan bahwa A ∪ (A ∩ B) = A ∩ (A ∪ B) = A.

Penyelesaian:

Langkah pertama, kita buktikan dahulu bahwa A ∪ (A ∩ B) = A.

A ∩ B merupakan himpunan yang anggotanya terdapat di A dan B yaitu A ∩ B = {3}.

A ∪ (A ∩ B) = {1, 2, 3} ∪ {3}

A ∪ (A ∩ B) = {1, 2, 3}

A ∪ (A ∩ B) = A

Jadi, terbukti bahwa A ∪ (A ∩ B) = A.

Langkah berikutnya, kita buktikan bahwa A ∩ (A ∪ B) = A.

A ∪ B merupakan himpunan yang anggotanya merupakan gabungan semua anggota A dan B yaitu A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

A ∩ (A ∪ B) = {1, 2, 3} ∩ {0, 1, 2, 3, 4, 5}

A ∩ (A ∪ B) = {1, 2, 3}

A ∩ (A ∪ B) = A

Jadi, terbukti bahwa A ∩ (A ∪ B) = A.

Dengan demikian dapat dikatakan bahwa A ∪ (A ∩ B) = A ∩ (A ∪ B) = A.

k. Penghilangan

Jika A = B, maka A ∩ C = A ∩ B untuk C suatu himpunan.

Contoh:

Diketahui A = {k, l, m}, B = {k, l, m} dan C = {l, m, n, o}. Buktikan bahwa A ∩ C = A ∩ B.

Penyelesaian:

Langkah pertama, kita tentukan A ∩ C.

A ∩ C = {k, l, m} ∩ {l, m, n, o} = {l, m}

Langkah kedua, kita tentukan A ∩ B.

B ∩ C = {k, l, m} ∩ {l, m, n, o} = {l, m}

Dengan demikian, terbukti bahwa A ∩ C = B ∩ C untuk C suatu himpunan.

l. Dualitas

Prinsip dualitas berlaku bila kita menukar “∪” dengan “∩”, “S” dengan “∅”, dan sebaliknya. Pernyataan baru tersebut disebut dual dari pernyataan aslinya.

Contoh:

Diketahui pernyataan (A ∪ ∅) ∩ (S ∪ B) = A. Tentukan dual dari pernyataan tersebut.

Penyelesaian:

Dual dari pernyataan (A ∪ ∅) ∩ (S ∪ B) = A adalah (A ∩ S) ∪ (∅ ∩ B) = A.

Jelaskan perbedaan bilangan bulat dengan bilangan riil

Bilangan Real

Bilangan riil adalah bilangan yang merupakan gabungan dari bilangan rasioanal dan bilangan irrasional sendiri.

Contohnya:
0, 1, 2, ½, 4/7, 55/7, √2, √3, √5, .... dan seterusnya.

Bilangan Bulat

Bilangan bulat yaitu bilangan yang terdiri atas bilangan negatif, bilangan 0 (nol), dan bilangan postitif, yaitu: ..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... , dan seterusnya.

B. Relasi

1. Jelaskan definisi dari relasi

Relasi adalah hubungan antara elemen himpunan dengan elemen himpunan yang lain. Cara paling mudah untuk menyatakan hubungan antara elemen 2 himpunan adalah dengan himpunan pasangan terurut. Himpunan pasangan terurut diperoleh dari perkalian kartesian.

Definisi 1:

Perkalian kartesian (Cartesian products) antara himpunan A dan B ditulis: A x B didefinisikan sebagai semua himpunan pasangan terurut dengan komponen pertama adalah anggota himpunan A dan komponen kedua adlah anggota himpunan B.

A x B = { (x,y) / x∈A dan y∈B}

Definisi 2:

Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B.

A disebut daerah asal dari R (domain) dan B disebut daerah hasil (range) dari R.

Definisi 3:

Relasi pada A adalah relasi dari A ke A.

Contoh:

1.1 Misal A = {1,2,3}, B = {a,b}, maka :

A x B = {(1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b)}

1.2 Misal P = {2,4,8,9,15}, B = {2,3,4}. Relasi R dari P ke Q didefinisikan sebagai:

(p,q) ∈ R jika p habis dibagi q, maka:

R = {(2,2), (4,2), (8,2), (9,3), (15,3), (4,4), (8,4)}

1.3 Misal R adalah relasi pada A = {2,3,4,8,9} yang didefinisikan oleh (x,y)∈R jika x adalah faktor prima dari y, maka:

R = {(2,2), (2,4), (2,8), (3,3), (3,9)}

2. Menyajikan relasi dengan matriks relasi dan diagram panah

Misalkan A = {3,4,5} dan B = {2,4}.

Jika kita definisikan relasi R dari A ke B dengan aturan : (a, b) ∈ R jika a faktor prima dari b maka relasi tersebut dapat digambarkan dengan diagram panah berikut ini :

3. Jelaskan relasi invers, dan komposisi relasi

· Relasi Komposisi

Misalkan f adalah suatu fungsi dari A ke B dan g adalah fungsi dari B ke C , maka suatu fungsi h dari A ke C disebut fungsi komposisi. Fungsi komposisi tersebut dinyatakan dengan (dibaca: g bundaran f)

Fungsi Komposisi: (f o g)(x) = f(g(x)

Fungsi Komposisi: (g o f)(x) = g(f(x))

Sifat-sifat Komposisi Fungsi

1. Pada umumnya tidak komutatif.

(g ○ f)(x) ≠ (f ○ g)(x)

2. Operasi komposisi pada fungsi bersifat asosiatif.

( f ○ (g ○ h))(x) = ((f ○ g) ○ h)(x)

3. Terdapat fungsi identitas

I(x) = x

(f ○ I)(x) = (I ○ f)(x) = f(x)

· Relasi Invers

Apabila f adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka invers fungsi fadalah suatu relasi dari himpunan B ke himpunan A. Jadi, invers suatu fungsi tidak selalu merupakan fungsi. Jika invers suatu fungsi merupakan fungsi, maka invers tersebut dinamakan fungsi invers dari fungsi semula.

Jika fungsi f : A → B

dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan f ^-1 : B → A

maka invers fungsi f adalah f = {(x , y)| x Î A, y Î B}

dan dinyatakan sebagai f ^-1= {(x , y)| y Î B, x Î A}

Fungsi f mempunyai fungsi invers

jika dan hanya jika f merupakan fungsi (korespondensi satu-satu)

Langkah-langkah untuk menentukan rumus fungsi invers apabila fungsi f(x) telah diketahui:

a. Mengubah persamaan y = f(x) dalam bentuk x sebagai fungsi y

b. Bentuk x sebagai fungsi y tersebut dinamakan f^-1(y)

c. Mengganti y pada f^-1(y), dan

d. dengan x, sehingga diperoleh f^-1(x)

4. Jelaskan perbedaan sifat relasi

a. Refleksif

Misalkan R sebuah relasi yang didefinisikan pada himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat refleksif jika untuk p € P berlaku (p,p) € R.

Contoh :

Diberikan Himpunan P = {1,2,3}. Didefinisikan relasi R pada himpunan P dengan hasil adalah himpunan S = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3), (3,2)}. Relasi R tersebut bersifat reflektif sebab setiap angggota himpunan P berpasangan atau berelasi dengan dirinya sendiri.

b. Transitif

Misalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R bersifat Transitif, apabila untuk setiap (x,y) € R dan (y,z) € R maka berlaku (x,z) € R.

Contoh :

Diberikan himpunan P ={1,2,3}. Didefinisikan relasi pada himpunan P dengan hasil relasi adalah himpunan R= {(1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (2,1), (3,1), (3,3)}. Relasi R tersebut bersifat Transitif sebab (x,y) € R din (y,z) € R berlaku (x,z) € R.

c. Simetris

Misalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat simetris, apabila untuk setiap (x,y) € R berlaku (y,x) € R.

Contoh :

Diberikan himpunan P ={1,2,3}. Didefinisikan relasi R pada himpunan P dengan R ={(1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (2,1), (3,1), (3,3)}. Relasi R tersebut bersifat simetris untuk setiap (x,y) € R, berlaku (y,x) € R.

d. Anti simetris

Misalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat antisimetris, apabila untuk setiap (x,y) € R dan (y,x) € R berlaku x=y.

Contoh :

Diberikan himpunan C = {2,4,5}. Didefinisikan relasi R pada himpunan C dengan R = {(a,b) € a kelipatan b, ab € C} sehingga diperoleh R = {(2,2), (4,4), (5,5), (4,2)}. Relasi R tersebut bersifat antisimetris.

C. Fungsi

1. Jelaskan definisi fungsi

Fungsi adalah sekelompok aktivitas yang tergolong pada jenis yang sama berdasarkan sifat atau pelaksanaannya. Dalam istilah Matematika fungsi merupakan pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain). Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmu kuantitatif. Istilah “fungsi”, “pemetaan”, “peta”, “transformasi”, dan “operator” biasanya dipakai secara sinonim.

Anggota himpunan yang dipetakan dapat berupa apa saja (kata, orang, atau objek lain), namun biasanya yang dibahas adalah besaran matematika seperti bilangan riil. Contoh sebuah fungsi dengan domain dan kodomain himpunan bilangan riil adalah y=f(2x), yang menghubungkan suatu bilangan riil dengan bilangan riil lain yang dua kali lebih besar. Dalam hal ini kita dapat menulis f(5)=10.

Domain, Kodomain dan Range

Domain disebut juga dengan daerah asal, kodomain daerah kawan sedangkan range adalah daerah hasil.

contoh :

Pada fungsi diatas, himpunan A disebut domain (daerah asal), himpunan B disebut kodomain (daerah kawan) dan hasil dari pemetaan tersebut range (daerah hasil).

Jadi dari gambar diatas diperoleh:

• Domainnya (Df) adalah A = {1, 2, 3}.

• Kodomainnya adalah B = {1, 2, 3, 4}.

• Rangenya (Rf) adalah {2, 3, 4}.

2. Jelaskan fungsi satu-satu (one to one) dengan fungsi pada (on to)

· Fungsi one to one

Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B dikatakan sebagai fungsi satu-satu (one-one function) bila dan hanya bila f (a) = f (a)’ maka a = a’. Dengan kata lain, fungsi f adalah fungsi satu-satu bila setiap anggota himpunan A memiliki bayangan yang berbeda.

· Fungsi on to

Fungsi adalah surjective(onto) jika setiap gambar yang mungkin dipetakan oleh sedikitnya satu argumen . Dengan kata lain , setiap elemen dalam codomain memiliki preimage tidak kosong . Ekuivalen, fungsi adalah surjective jika citranya sama dengan codomain nya . Sebuah fungsi surjective adalah surjection a. Definisi formal adalah sebagai berikut.
Fungsi f : A \ ke B surjective IFF untuk semua b \ di B , ada \ A sedemikian rupa sehingga f ( a) = b .
Sebuah fungsi f : A → B adalah surjective jika dan hanya jika benar - dibalik , yaitu , jika dan hanya jika ada fungsi g : B → A, sehingga kabut = function identitas di B. ( Pernyataan ini setara dengan aksioma pilihan . )
Dengan runtuh semua argumen pemetaan ke gambar tetap yang diberikan , setiap surjection menginduksi bijection didefinisikan pada hasil bagi domainnya . Lebih tepatnya , setiap surjection f : A → B dapat diperhitungkan sebagai proyeksi diikuti oleh bijection sebagai berikut . Biarkan A / ~ menjadi kelas kesetaraan A di bawah relasi ekivalen berikut : x ~ y jika dan hanya jika f (x ) = f ( y ) . Ekuivalen, A / ~ adalah himpunan semua preimages bawah f . Misalkan P ( ~ ) : A → A / ~ menjadi proyeksi peta yang mengirimkan setiap x dalam A ke kelas kesetaraan yang [ x] ~ , dan membiarkan fP : A / B ~ → menjadi fungsi yang terdefinisi dengan baik yang diberikan oleh fP ( [ x] ~ ) = f (x ) . Kemudian f = fP o P ( ~ ) . Sebuah factorisation ganda diberikan untuk suntikan di atas .
Komposisi dari dua surjections lagi surjection , tetapi jika gof adalah surjective , maka hanya dapat disimpulkan bahwa g adalah surjective